7.下面两句话，意思是一样的：
A.有一件展品，每个参观者都喜欢。
B.每个参观者，都喜欢一件展品。
8.下列两句话，意思是一样的：
A.有一个数，它比所有的正数都小。
B.对于所有的正数来说，都有一个数，比它们小。
7和8的两个判断，都是错误的。
这些句子都跟语言、逻辑有关。我们再看一个复杂点儿的。和“我班至少有两个学生是区三好学生”意义相反的句子是：A.我班至少有两个学生不是区三好学生；B.我班至多有一个学生是区三好学生；C.我班至少有一个学生是区三好学生；D.我班至多有两个学生是区三好学生。陈老师的测试结果显示，学生在“数学语言理解”上的成绩跟他们的数学成绩强相关，跟他们的语文成绩弱相关。初三那些数学成绩较差的学生，也搞不明白这些数学语言和逻辑。陈老师说，初中是学习数学语言的关键时期，有些学生不敢把自然语句“翻译”成带数学符号的方程，不敢设字母，这是抽象能力不足造成的障碍。
生活中的语言总会发生变化，我这个岁数的人，肯定做过类似的应用题——曙光电视机厂计划30天生产5400台电视机，实际上每天比计划多生产20台，照这样计算，完成原定的生产任务，要少用多少天？比我年轻点儿的人，应该做过类似的应用题——某公司改制成股份公司，原来注明是每个人平均入股，正式统计时有10人表示不参加，因此，其余每人要多负担1万元。到实际付款时，又有15人决定退出，这样，最后余下的人每人要再增加投资2万元，问该公司原有多少人准备入股？如果一个学生能理解什么叫“生产计划”，什么叫“股改”，那他也能理解什么叫“两数的平方和”，什么叫“两数的和的平方”。
我们都熟悉一种句型——“如果……，那么……”，陈老师说，数理逻辑中有一种叫“蕴涵”的运算，“如果……，那么……”就是蕴涵的语言外壳。“如果7=8，那么7+1=8+1”，即“如果P，那么Q”，P是假的，Q是真的，P蕴涵Q也会是真的。我们学反证法，就是在这个逻辑之下。比如要证明，“一条线的垂线，和与该直线相交的直线必然相交”，用反证法就要假设一条线的垂线和与该直线相交的直线是平行的。数学归纳法也是在这个逻辑之下。这个例子听上去略有些复杂，很多学生对数学语言产生困惑，好像是从学平面几何才开始的，但数学语言的出现可能比我们想象的要早。比如说，将“最多三天”“至少三天”及“少于三天”转化为数学语言，那就是小于等于3、大于等于3和小于3。
我看过一个视频，是北京人大附中李永乐老师用戴德金分割证明无限循环小数0.99999……等于1。戴德金分割将整个有理数分拆为两个非空集合A和B，A交B是空集，也就是说A和B之中没有重复的元素，A并B是有理数，如果a属于A集合，b属于B集合，则a小于b。这说的就是在数轴上切一刀，将有理数分成左右两个部分，这一刀可以切在任何一个地方。这样的分割之后，会有以下四种可能：其一是A中有最大，B中无最小；其二是A中无最大，B中有最小；其三是A中无最大，B中无最小；其四是A中有最大，B中有最小。A中有无最大，B中有无最小，这就是一套语言。以上四种语言描述都可以写成数学描述，需证明第四种情况不存在，而第三种情况就是那一刀切在了无理数上面，切在了有理数的间隙。戴德金说，他可以由此来定义整个实数，有理数的全体分割就构成了实数。如果对实数进行分割，则只会出现两种情况，A中有最大、B中无最小或者A中无最大、B中有最小。戴德金分割是定义实数的一种方法，是数学公理化之一种。
什么叫有理数，什么叫实数，需要确切的定义。什么叫自然数，什么叫加法，也需要确切的定义。但考虑到一年级小孩子没有那么强的逻辑能力和语言能力，我们就糊弄过去了。
不过，陈永明老师在《数学教学中的语言问题》中提醒我们——“力求词意确切，是研究数学教学语言的重要课题，这也是和数学严谨性相适应的。日常生活中，词的意思常常是通过解释来表达的，有的甚至只可意会。在数学里，反映数学概念的词的意义，一般是通过定义加以规定，也就是说，通过已经了解的概念来规定新概念的意义。概念的步步上溯，最终归结到几个原始概念，它们的意义是凭人类长期的经验来理解的，在现代数学里，则是采用公理化的方法加以规定。通过逻辑手段，也就是定义方法确定反映概念的词的意义，这保证了词的专义性，这是数学课中语言的主流。”
但是，陈老师说了，数学课中的词也有模糊的地方，我们会借用日常生活中的词；还有，许多带有数学特点的词也无法用定义来规定其意义，比如“内部”“邻近”“对应”等。
（小颖摘自微信公众号“三联少年刊”）