几年前，一位经常与我合作的数学家朋友，说过一句令我印象深刻的话。当时我们俩正要道别，我们决定在两周后的同一天、同一时间再见。在她掏出记事本以便记下见面的时间时，我听到她悄声低语了一句：“今天是4 月20 日，那么14 天之后就是34 日，那就是34 减30——5月4日。”
这个算法让我会心一笑。她发明了一个不存在的日期：4 月34 日。这种思维方式对一个受过数学训练的人来说既自然又典型！从4 月到5 月的过渡打破了算术的规则，因为30 的后面是1，这一过渡把人们限制在一个加法之外的步骤上，去进行月份转换。
但是，我的那位数学家朋友并没有在这些太过实际的障碍上停滞不前。4 月的最后一个日期没有对她的加法形成任何妨碍。因为20 加14 等于34，所以日期就会是4 月34 日，而4 月34 日就等于5 月4 日，仅此而已。她发明了一个不存在的日期，以便让自己的推导直达目标，而这丝毫没有妨碍她得出正确的结果！
这是数学思维的优点之一：可以用不存在的东西辅助自己做恰当的思考。实际上，思考不存在的东西甚至可以说是数学的特性。不存在的东西也就是抽象的东西。
数字显然是最引人注目的例子之一。一旦脱离了被它们模型化的现实，数字就成了纯抽象的概念。它们是想法，是我们用作思维中间环节的想象之物。就像发明4 月34 日来推导日期会是方便之法一样，发明新的数字对思考新的问题也会有所帮助。
比如，负数就是这样不期而至的。没有任何一段距离会是-11 千米。无论从哪种逻辑上来讲，距离都应该用一个正数来表示。但是，在测量地球上各点之于海平面的海拔时，把位于海平面之下的海渊的海拔看作负数会很实用。
研究数学，就是创造想象的世界，在这些世界中，我们的思维可以自由漫步，不必担心现实的妨碍。当你碰到一个科学问题时，下面这种解决方法往往会很有用：
1.创造一个数学世界，你可以在这个世界里把问题模型化；
2.在这个数学世界里解决问题；
3.把结果转回到现实世界中。
比如说，这种方法就被天文学家用来了解行星的轨迹和预测日食。
这种解决问题的模式叫作“雨伞定理”。如果你在雨天想在不被淋湿的情况下从一个地方前往另一个地方，请按照以下步骤操作：
1.撑开你的雨伞；
2.开始你的行程；
3.收起你的雨伞。
步骤1和步骤3的操作是相反的，如果你能够在雨伞为你打开的特定世界中达成预期的目标，那么你在操作结束时就可以恢复到开始时的状态。负数的雨伞为地理学家测量海拔提供了研究上的便利，对数的雨伞让淹没在乘法中的天文学家得以进入加法的世界，而更广泛地说，抽象的雨伞为所有科学家进入数学世界提供了可能。
雨伞，带来观点的改变，代表着差异，是从另一个角度看待事物的艺术——一种更适合、更有效的角度。
走得更远，并不总是意味着长久而乏味的努力，而是要先找到解决所面临问题的正确方法。如果我们以正确的方式看待问题，那么再错综复杂的问题也会在一瞬间变得简单明了。伟大的智者能尽显其才，首先是因为他们拥有在正确的时间发明正确的雨伞的能力。
在18 世纪，古怪的作家、旅行家乔纳斯·汉韦是第一个使用雨伞的伦敦人。这是一把真的雨伞——挡雨的伞。他为此遭受了很多白眼和伦敦马车夫赤裸裸的恶意，因为在当时的伦敦，搭乘马车一直是在糟糕天气出行而不会被淋湿的唯一方法。毫不畏惧旁人眼光的汉韦继续自豪地使用了30 多年雨伞，并慢慢看到他的同胞也开始使用雨伞。在他去世后不久，商业化雨伞在英国出现。
不要惧怕与众不同，这就是雨伞所代表的智慧。一旦接受在头顶撑起抽象的雨伞并进入数学的世界，我们就不会再全然依赖现实。不必让自己陷在无用的限制或既有观念之中。你想要一个4月34日吗？拿去吧！你想要负数吗？拿去吧！你想要无穷吗？拿去吧！如果所有这些想法都不会干扰你组织思维，甚至还有所帮助，那为什么要排斥它们呢？你是自由的。
在享受自由的同时，你还应该懂得如何在数学世界里自我驾驭，这是一种需要大量实践才能培养出的能力。
为此，数学家制造出很多导航工具，其中有两个指南针：一个名叫“实用”，一个名叫“优雅”。“实用”引导我们创造出最贴近现实的抽象世界，在这些抽象世界中进行的研究能够轻松地转化为关于宇宙的知识。“优雅”告诉我们要完全抛开现实，并沉醉在抽象世界的奇观中，那里有许许多多美丽的事情要做——如果一件事是无用的，那它就更美了。
每个人都能以自己的方式使用这两个指南针。有些人偏爱其中的某一个，有些人则两个一起用，并不断在两个指南针指示的方向之间寻找完美的平衡。世界充满奥秘，因此，探索实用之人和探索优雅之人常常会在走过不同的道路之后，在同一个地方不期而遇。看到大自然如此喜爱按照优雅的数学原理运转，真是既让人目瞪口呆，又让人不知所措。